Question

已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+1）（x-a），若f（x）在x=a处取到极大值，则a的取值范围是（ ）
A．（-1，0）
B．（2，+∞）
C．（0，1）
D．（-∞，-3）

Answer

由函数（x）的导函数f′（x）=a（x+1）（x-a），且f（x）在x=a处取到极大值，在x=a的左右两边左增右减，即左侧导数为正，右侧导数为负，将其转化为不等式，解不等式求a．
【解析】
由f（x）在x=a处取得极大值可知，当x＜a时，f′（x）＞0，当x＞a时，f′（x）＜0，
即存在x∈（b，a），使得a（x+1）（x-a）＞0，且存在x∈（a，c），使得a（x+1）（x-a）＜0
若a＞0时，a（x+1）（x-a）＞0的解集为（a，+∞）或者（-∞，-1），故不合题意
若a＜0时，故有（x+1）（x-a）＜0，
当a＞-1，其解集为（-1，a），此时b=-1，且（x+1）（x-a）＞0，其解集为（a，+∞）或者（-∞，-1），此时c∈R，故-1＜a＜0符合题意
若a＜-1，显然不合题意，
综上讨论知，符合条件的a的取值范围是（-1，0）
故应选A．