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如图,在三棱锥S-ABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,∠BAC=90...

manfen5.com 满分网如图,在三棱锥S-ABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,∠BAC=90°,O为BC中点.
(Ⅰ)证明:SO⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A-SC-B的余弦值.
(1)欲证SO⊥平面ABC,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证SO与平面ABC内两相交直线垂直,而SO⊥BC,SO⊥AO,又AO∩BO=O,满足定理条件; (2)以O为坐标原点,射线OB,OA分别为x轴、y轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz,求出两半平面的法向量,求出两法向量的夹角即可. 证明: (Ⅰ)由题设AB=AC=SB=SC=SA,连接OA,△ABC为等腰直角三角形, 所以,且AO⊥BC, 又△SBC为等腰三角形,故SO⊥BC, 且,从而OA2+SO2-SA2. 所以△SOA为直角三角形,SO⊥AO. 又AO∩BO=O. 所以SO⊥平面ABC. (Ⅱ)【解析】 以O为坐标原点,射线OB,OA分别为x轴、y轴的正半轴, 建立如图的空间直角坐标系O-xyz. 设B(1,0,0),则C(-1,0,0),A(0,1,0),S(0,0,1).SC的中点,.∴. 故等于二面角A-SC-B的平面角. , 所以二面角A-SC-B的余弦值为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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