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设函数f(x)=ln(x+a)+x2 (I)若当x=-1时,f(x)取得极值,求...

设函数f(x)=ln(x+a)+x2
(I)若当x=-1时,f(x)取得极值,求a的值,并讨论f(x)的单调性;
(II)若f(x)存在极值,求a的取值范围,并证明所有极值之和大于manfen5.com 满分网
(I)先求函数定义域,然后对函数求导,由题意可得,f′(-1)=0,代入可求a,代入a的值,分别解f′(x)>0,f′(x)<0,求解即可. (II)由题意可得在区间(-a,+∞)上,f′(x)=0有根,结合一元二次方程根的存在情况讨论该方程的△=4a2-8,求a的取值范围,结合a的取值,把极值点代入函数f(x)可得, 【解析】 (Ⅰ), 依题意有f'(-1)=0,故. 从而. f(x)的定义域为,当时,f'(x)>0; 当时,f'(x)<0; 当时,f'(x)>0. 从而,f(x)分别在区间单调增加,在区间单调减少. (Ⅱ)f(x)的定义域为(-a,+∞),. 方程2x2+2ax+1=0的判别式△=4a2-8. (ⅰ)若△<0,即,在f(x)的定义域内f'(x)>0,故f(x)的极值. (ⅱ)若△=0,则或. 若,,. 当时,f'(x)=0, 当时,f'(x)>0,所以f(x)无极值. 若,,,f(x)也无极值. (ⅲ)若△>0,即或,则2x2+2ax+1=0有两个不同的实根,. 当时,x1<-a,x2<-a,从而f'(x)有f(x)的定义域内没有零点, 故f(x)无极值. 当时,x1>-a,x2>-a,f'(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点, 由根值判别方法知f(x)在x=x1,x=x2取得极值. 综上,f(x)存在极值时,a的取值范围为. f(x)的极值之和为.
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考点分析:
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(I)求X的均值EX;
(II)求用以上方法估计M的面积时,M的面积的估计值与实际值之差在区间(-0.03,0.03)内的概率.
附表:manfen5.com 满分网
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试题属性
  • 题型:解答题
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