Question

若函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x）•f（x+2）=-1，f（1）=-5，则f[f（5）]=    ．

Answer

已知f（1）的值，求f[f（5）]，在不知道f（x）解析式的情况下，我们就是想法把f[f（5）]用f（1）表示，或者构造关于f[f（5）]的方程．
解法一：∵f（x）•f（x+2）=-1，
∴，
∴，
∴f（5）=f（1）=-5，
f（-5）=f（-5+8）=f（3）=，
∴．
解法二：令x=3，得f（3）•f（5）=-1，①
令x=1，得f（1）•f（3）=-1，②
①÷②，得，
∴f（5）=f（1）=-5．
令x=-5，得f（-5）•f（-3）=-1，③
令x=-3，得f（-3）•f（-1）=-1，④
令x=-1，得f（-1）•f（1）=-1，⑤
④÷⑤，得，
∴f（-3）=f（1）=-5，⑥
将⑥式代入③式，得f（-5）=，
∴f[f（5）]=f（-5）=．
答案：