Question

正四棱柱ABCD-A′B′C′D′各顶点都在表面积为24π的球面上，且底边AB的长为2，则顶点A到平面A'BD的距离为    ．

Answer

先设出球的半径为R，根据求表面积公式求出R，并且求出AA′．
方法一三棱锥A-ABD的体积的两种算法：一种算法以A为顶点，则A到平面A′BD的距离设为h，算出体积；另一种以A′为顶点，则A′到平面ABD的距离为AA′，算出体积．相等得到答案．
方法二找出BD中点O，连接A′O过A作AH⊥A′O，垂足为H，由平面AA′O⊥平面A′BD，得到AH⊥平面A′BD，即AH为点A到平面A'BD的距离．利用三角形的面积法求出AH即可．
【解析】
设球半径为R，则S表=4πR2=24π，则R2=6，
由AC'=2R，
即A'A2+AB2+AD2=（2R）2，
得AA'=4．
法一等体积法，利用VA'-ABD=VA-A'BD．设点A到平面A'BD的距离为h，设O为BD
中点，连A′O，则A′O⊥BD，
易得，．
由，，
易求，
所以．

法二过A作AH⊥A′O，垂足为H，
∵平面AA′O⊥平面A′BD，
∴AH⊥平面A′BD，即AH为点A到平面A'BD的距离．
在RT△A′BD中，AA′•AO=AH•A′O，
即，得；
故答案是．