Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=6，M为AA₁上的点，且AM=2MA₁，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC₁到M点的最短路线长为，设这条最短路线与C₁C的交点为N．求：
（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（2） PC和NC的长；
（3）此棱柱的表面积；
（4）平面NMP和平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反正切函数表示）．

Answer

（1）直接求解三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（2）利用侧面展开图，MP1就是由点P沿棱侧面经过CC1到点M的最短路线．设PC=x，通过解三角形求出 PC和NC的长；
（3）直接求出底面面积，侧面面积即可得到此棱柱的表面积；
（4）连接PP1说明∠NHC所成二面就是平面NMP与平面ABC角的平面角，求出平面NMP和平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反正切函数表示）．
【解析】
（1）正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为6的矩形，
其对角线长为；（3分）
（2）如图1，将侧面BC1旋转120°使其与侧面AC1在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱侧面经过CC1到点M的最短路线．设PC=x，
则P1C=x，在Rt△MAP1中，（3+x）2+42=32⇒x=1，
（6分）
（3）棱柱的表面积为=．（8分）
（4）连接PP1（如图2），则PP1就是NMP与平面ABC的交线，作NH⊥PP1于H，又CC1⊥平面ABC，连接CH，由三垂线定理得，CH⊥PP1
∴∠NHC所成二面就是平面NMP与平面ABC角的平面角．（10分）
在Rt△PHC中，∵，
∴，在Rt△NCH中，
即．（12分）