Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，E为棱CC₁上异于C、C₁的一点，EA⊥EB₁，已知AB=，BB₁=2，BC=1，∠BCC₁=，求：
（Ⅰ）异面直线AB与EB₁的距离；
（Ⅱ）二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值．

Answer

（1）先证明BE是异面直线AB与EB1的公垂线，再利用平面几何知识结合方程思想及解三角形的方法求出BE的长即可；
（2）过E作EG∥B1A1再证明∠AEG是二面角A-EB1-A1的平面角，利用平行证得∠AEG=∠BAE，只要求出tan∠BAE即得．
【解析】
（Ⅰ）因AB⊥面BB1C1C，故AB⊥BE．
又EB1⊥EA，且EA在面BCC1B1内的射影为EB．
由三垂线定理的逆定理知EB1⊥BE，因此BE是异面直线AB与EB1的公垂线，
在平行四边形BCC1B1中，设EB=x，则EB1=，
作BD⊥CC1，交CC1于D，则BD=BC•sin=．
在△BEB1中，由面积关系得x=•2•，即（x2-1）（x2-3）=0．
解得x=±1，x=±（负根舍去）
当x=时，在△BCE中，CE2+12-2CE•cos=3，
解之得CE=2，故此时E与C1重合，由题意舍去x=．
因此x=1，即异面直线AB与EB1的距离为1．
（Ⅱ）过E作EG∥B1A1，则GE⊥面BCC1B，故GE⊥EB1且GE在圆A1B1E内，
又已知AE⊥EB1
故∠AEG是二面角A-EB1-A1的平面角．
因EG∥B1A1∥BA，∠AEG=∠BAE，故tanAEG===．