Question

数列{a_n}满足a₁=1且a_n+1=（1+）a_n+（n≥1）．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：a_n≥2（n≥2）；
（Ⅱ）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：a_n＜e²（n≥1），其中无理数e=2.71828…．

Answer

（Ⅰ）欲用数学归纳法证明，分两个步骤：当n=2时和假设当n=k（k≥2）时不等式成立，接下来证明当n=k+1时不等式成立即可；
（Ⅱ）由递推公式及（Ⅰ）的结论有an+1=（1+）an+≤（1++）an（n≥1），再结合对数函数的单调性，得到lnan+1-lnan≤+（n≥1）．最后对此式从1到n-1求和后放缩可得结论．
（Ⅰ）证明：
①当n=2时，a2=2≥2，不等式成立．
②假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即ak≥2（k≥2），
那么ak+1=（1+）ak+≥2．这就是说，当n=k+1时不等式成立．
根据（1）、（2）可知：ak≥2对所有n≥2成立．
（Ⅱ）由递推公式及（Ⅰ）的结论有an+1=（1+）an+≤（1++）an（n≥1）
两边取对数并利用已知不等式得lnan+1≤ln（1++）+lnan≤lnan++
故lnan+1-lnan≤+（n≥1）．
上式从1到n-1求和可得lnan-lna1≤++…++++…+
=1-+（-）+…+-+•=1-+1-＜2
即lnan＜2，故an＜e2（n≥1）．