Question

为深入贯彻素质教育，增强学生体质，某中学从高一、高二、高三三个年级中分别选了甲、乙、丙三支足球队举办一场足球赛．足球赛具体规则为：甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两个队比赛一场）．共赛三场，每场比赛胜者积3分，负者积0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．
（Ⅰ）求甲队获得第一名且丙队获得第二名的概率；
（Ⅱ）设在该次比赛中，甲队积分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer

本题考查的知识点是等可能事件的概率，及离散型随机变量及其分布列和数学期望．
（1）甲队获得第一名且丙队获得第二名，需要满足甲胜乙，甲胜丙，丙胜乙，则P（A）=××，计算后即可得到甲队获得第一名且丙队获得第二名的概率；
（2）由题意可知ξ可能取值为0、3、6，分类讨论并计算：则甲两场皆输：P（ξ=0）=；甲两场只胜一场：P（ξ=3）=×+×；甲两场皆胜：P（ξ=6）=，我们易得到ξ的分布列，进而得到其数学期望．
【解析】
（Ⅰ）设甲队获第一且丙队获第二为事件A，则P（A）=××=（3分）
（Ⅱ）ξ可能取值为0、3、6，（4分）
则甲两场皆输：P（ξ=0）==（5分）
甲两场只胜一场：P（ξ=3）=×+×=（6分）
甲两场皆胜：P（ξ=6）==．（8分）
∴ξ的分布列为：
（10分）
Eξ=0×+3×+6×=（12分）