Question

如图，分别是直三棱柱ABC-A₁B₁C₁直观图及其正视图、俯视图、侧视图．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）求证：MN⊥平面A₁BC；
（Ⅲ）求二面角A-A₁B-C的大小．

Answer

由三视图可知三棱柱的底面是一个直角边为a的等腰直角三角形，高为a，由于在C点出现三线垂直，故我们可以以C为原点，分别以CB、CC1、CA为x、y、z轴建立空间坐标系，利用向量法解题．
（1）要证MN∥平面ACC1A1，即证直线MN的方向向量与平面ACC1A1的法向量垂直；
（2）要证MN⊥平面A1BC，即证直线MN的方向向量与平面A1BC的法向量平行；
（3）二面角A-A1B-C的大小，即求平面A1BA的法向量与平面A1BC的法向量的夹角（或其补角）
【解析】
（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CC1、CA为x、y、z轴建立坐标系，
则AC=BC=CC1=a，A（0，0，a），C1（0，a，0），
，，
AC1=（0，a，-a），，
∴，AC1∥MN，
故MN∥平面ACC1A1．
（Ⅱ）∵A1（0，a，a）、B（a，0，0），
∴；
又，
，
∴MN⊥A1B，MN⊥CB，
∴MN⊥平面A1BC．
（Ⅲ）作CH⊥AB于H点，
∵平面ABC⊥平面ABB1A1，
∴CH⊥平面A1BA，
故平面A1BA的一个法向量为，
而平面A1BC的一个法向量为，
∴，
故二面角A-A1B-C的大小为．