Question

已知z₁，z₂是复数，求证：若|z₁-|=|1-z₁z₂|，则|z₁|，|z₂|中至少有一个值为1．

Answer

利用|z|2=，结合|z1-|=|1-z1z2|的平方，化简出|z1|2+|z2|2=1+|z1|2•|z2|2．
通过分解因式，推出|z1|，|z2|中至少有一个值为1．
证：∵|z1-|=|1-z1z2|
∴|z1-|2=|1-z1z2|2．
∴（z1-）=（1-z1z2）．
∴（z1-）（-z2）=（1-z1z2）（1-）．
化简后得z1+z2=1+z1z2．
∴|z1|2+|z2|2=1+|z1|2•|z2|2．
∴（|z1|2-1）（|z2|2-1）=0．∴|z1|2=1，或|z2|2=1．
∴|z1|，|z2|中至少有一个为1．