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已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为,函数. (1)若函数g(x)在x=1...

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(1)若函数g(x)在x=1处有极值,求g(x)的解析式;
(2)若函数g(x)在区间[-1,1]上为增函数,且b2-mb+4≥g(x)在x∈[-1,1]时恒成立,求实数m的取值范围.
(1)先求出斜率为3的切线方程,根据两条切线间的距离求出a值,再讨论满足g′(x)=0的点附近的导数的符号的变化情况,来确定极值,求出b即可. (2)欲使函数g(x)在区间[-1,1]上为增函数只需转化成g′(x)≥0在区间[-1,1]上恒成立,求出b的范围,根据g(x)在x∈[-1,1]是增函数知g(x)的最大值为g(1),只需使b2-mb+4≥g(1)恒成立即可. 【解析】 (1)∵, ∴由=3得x=±a, 即切点坐标为(a,a),(-a,-a) ∴切线方程为y-a=3(x-a),或y+a=3(x+a)(2分) 整理得3x-y-2a=0或3x-y+2a=0 ∴, 解得a=±1, ∴f(x)=x3. ∴g(x)=x3-3bx+3(4分) ∵g′(x)=3x2-3b,g(x)在x=1处有极值, ∴g′(1)=0, 即3×12-3b=0,解得b=1 ∴g(x)=x3-3x+3(6分) (2)∵函数g(x)在区间[-1,1]上为增函数, ∴g′(x)=3x2-3b≥0在区间[-1,1]上恒成立, ∴b≤0, 又∵b2-mb+4≥g(x)在区间[-1,1]上恒成立, ∴b2-mb+4≥g(1)(8分) 即b2-mb+4≥4-3b,若b=0,则不等式显然成立,若b≠0, 则m≥b+3在b∈(-∞,0)上恒成立 ∴m≥3. 故m的取值范围是[3,+∞)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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