Question

如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，经平面AEFG所截后得到的图形．其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．
（1）求证：BD⊥平面ADG．
（2）求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

Answer

（1）欲证BD⊥平面ADG，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BD⊥平面ADG内两相交直线垂直，而AD⊥BD，GD⊥BD，
GD∩AD=D，满足定理条件；
（2）以D为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OG为z轴建立空间直角坐标系D-xyz，分别求出平面AEFG法向量和平面ABCD的一个法向量，然后求出两法向量的夹角的余弦值，即可求出平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．
【解析】
（1）证明：在△BAD中，AB=2AD=2，∠BAD=60°，
由余弦定理得，BD=∴AB2=AD2+BD2．
∴AD⊥BD（2分）
又GD⊥平面ABCD
∴GD⊥BD，
GD∩AD=D，
∴BD⊥平面ADG（4分）
（2）以D为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OG为z轴建立空间直角坐标系D-xyz
则有A（1，0，0），B（0，，0），G（0，0，1），E（0，）（6分）
设平面AEFG法向量为m=（x，y，z）
则，
取（9分）
平面ABCD的一个法向量（10分）
设面ABFG与面ABCD所成锐二面角为θ，

则（12分）
∴平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为．