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已知函数f(x)=ex-x(e是自然对数的底数) (Ⅰ)求f(x)的最小值; (...

已知函数f(x)=ex-x(e是自然对数的底数)
(Ⅰ)求f(x)的最小值;
(Π)不等式f(x)>ax的解集为P,若manfen5.com 满分网,且M∩P≠∅,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)已知manfen5.com 满分网,是否存在等差数列an和首项为f(1)公比大于0的等比数列bn,使数列an+bn的前n项和等于Sn
(Ⅰ)求导f'(x)=ex-1由f'(x)=0,解得x=0,易知当x>0时,f'(x)>0当x<0时,f'(x)<0故f(x)在x=0处取得最小值. (Ⅱ)M∩P≠∅,即不等式f(x)>ax在区间有解,转化为在区间有解,只要求得的最大值即可. (Ⅲ)先设存在公差为d首项等于f(1)的等差数列an和公比q大于0的等比数列bn,使得数列an+bn的前n项和等于Sn 由,再由数列通项与前n项和之间的关系求解,若能求和d和q则为存在,否则为不存在. 【解析】 (Ⅰ)f'(x)=ex-1 由f'(x)=0,解得x=0 当x>0时,f'(x)>0 当x<0时,f'(x)<0 故f(x)在(-∞,+∞)连续,故fmin(x)=f(0)=1 (Ⅱ)∵M∩P≠∅,即不等式f(x)>ax在区间有解, f(x)>ax可化为(a+1)x<ex只需在区间有解 令 即a<gmax(x)∵故g(x)在区间递减,在区间[1,2]递增 又 ,且 ∴ 所以,实数a的取值范围为 (Ⅲ)设存在公差为d首项等于f(1)的等差数列an 和公比q大于0的等比数列bn,使得数列an+bn的前n项和等于Sn ∵ b1=f(1)=e-1 ∴,故 又n≥2an+bn=Sn-Sn-1=en-1(e-1)- 故n=2,3,有 即d+(e-1)q=e(e-1)-1①2d+(e-1)q2=e2(e-1)-2② ②-①×2得q2-2q=e2-2e解得;q=e或q=2-e(舍去) 故q=e,d=-1 此时,数列an+bn的前n项和等于 故存在满足题意的等差数列an金额等比数列bn,使得数列an+bn的前n项和等于Sn
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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