Question

如图，AB是⊙O的弦，C、F是⊙O上的点，OC垂直于弦AB，过F点作⊙O的切线交AB的延长线于D，连接CF交AB于E点．
（I）求证：DE²=DB•DA．
（II）若BE=1，DE=2AE，求DF的长．

Answer

本题考查的知识点是的切线的性质定理及与圆有关的比例线段，（1）要证明DE2=DB•DA．由切割线定理，我们可得DF2=DB•DA．故可以转化为DE=DF．连接OF后，根据周的等量关系，证明出∠DEF=∠DFE即可得到结论．
（2）由BE=1，DE=2AE，结合（1）的结论，设AE=x，我们可以得到一个关于x的方程，解方程即可求解．
【解析】
（I）连接OF，∵OC=OF，
∵∠OCF=∠FOC，
∵DF是⊙O的切线，
∴OF⊥DF，
又∵OC垂直于弦AB，
∴∠AEC=∠DFE，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF，∵DF是⊙O的切线，
∴DF2=DB•DA，∴DE2=DB•DA

（II）设AE=x，
则DE=2x，DF=2x，
∵DF2=DB•DA，
∴（2x）2=3x（2x-1），
解得2x=3，
∴DF的长为3．