Question

已知A、B、C为直线l上三点，且AB=BC=a；P为l外一点，且∠APB=90°，∠BPC=45°，求
（1）∠PBA的正弦、余弦、正切；
（2）PB的长；
（3）P点到l的距离．

Answer

（1）过P点作PD⊥AB交AB于点D，过点B作BE∥AP交PC于点E依题意可知∠PBE=90°，∠PEB=45°，PB=BE，再根据△CPA∽△CEB相应边的比相等，可求的，由于PB=BE，进而可得的值，求得tan∠PBA，再根据同角三角函数关系可求得cos∠PBA和sin∠PBA．
（2）在直角三角形APB中，根据PB=AB•cos∠PBA求得PB．
（3）P点到l的距离即为图中PD的长度，在直角三角形PDB中，根据PD=PB•sin∠PBA，求得PD的长度．
【解析】
过P点作PD⊥AB交AB于点D（如图）
（1）过点B作BE∥AP交PC于点E
则∠PBE=90°，∠PEB=45°，PB=BE．
∵△CPA∽△CEB，
∴，
因PB=BE，
∴．
又∵1+tg2∠PBA=sec2∠PBA，∠PBA为锐角，
∴，．

（2）．
（3）∵，
∴．
综上，所求为
（1）∠PBA的正弦、余弦、正切分别是；
（2）PB的长为；
（3）P点到l的距离为．．