Question

在等比数列{a_n}中，首项为a₁，公比为q，S_n表示其前n项和．
（I）记S_n=A，S_2n-S_n=B，S_3n-S_2n=C，证明A，B，C成等比数列；
（II）若，，记数列{log₂a_n}的前n项和为T_n，当n取何值时，T_n有最小值．

Answer

（ I），，．故，．所以A，B，C成等比数列；
（II）若q=1，则，与题设矛盾；若q≠1，则，故有1+q3=9，解得q=2．
所以an=a•2n-1，可知log2an=n-1+log2a．由此入手能够推导出当n=11时，Tn有最小值．
【解析】
（ I）当q=1时，A=na1，B=2na1-na1=na1，
C=3na1-2na1=na1，可见A，B，C成等比数列；（2分）
当q≠1时，，，
．故有
，．
可得，这说明A，B，C成等比数列．
综上，A，B，C成等比数列；（6分）

（II）若q=1，则，
与题设矛盾，此情况不存在；
若q≠1，则，
故有1+q3=9，解得q=2． （8分）
所以an=a•2n-1，可知log2an=n-1+log2a．
所以数列{log2an}是以log2a为首项，1为公差的等差数列．
令log2an≤0，即n-1+log2a≤0⇔n≤1-log2a．
因为，
所以log2a∈[-log22010，-log21949]，（10分）
即得1-log2a∈[1+log21949，1+log22010]，
可知满足log2an≤0的最大的n值为11．
所以，数列{log2an}的前11项均为负值，
从第12项开始都是正数．因此，当n=11时，Tn有最小值． （12分）