求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0．...

求证：关于x的方程ax²+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0．

我们先假设，x=1是方程ax2+bx+c=0的根再证明a+b+c=0成立，即命题的必要性，再假设a+b+c=0再证明x=1时，方程ax2+bx+c=0成立，即充分性，如果两者均成立，即可得到关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0．证明：（1）必要性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，则a+b+c=0”． ∵x=1是方程的根，将x=1代入方程，得a•12+b•1+c=0，即a+b+c=0．（2）充分性，即“若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的根”．把x=1代入方程的左边，得a•12+b•1+c=a+b+c． ∵a+b+c=0， ∴x=1是方程的根．综合（1）（2）知命题成立．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等