Question

已知关于x的一元二次方程mx²-4x+4=0 ①，x²-4mx+4m²-4m-5=0 ②求使方程①②都有实根的充要条件．

Answer

分别求出方程①和方程②有根的充要条件，将求出的m的范围取交集．
【解析】
方程①有实数根时，其判别式△1=（-4）2-16m≥0，即m≤1，且 m≠0；
当m≤1，且 m≠0时，其判别式△1=（-4）2-16m≥0，
∴方程①有实数根的充要条件是m≤1，且 m≠0；
方程②有实数根时，其判别式△2=（4m）2-4（4m2-4m-5）≥0，即m≥-．
当m≥-时，其判别式△2=（4m）2-4（4m2-4m-5）≥0
方程②有实数根的充要条件是  m≥-．
∴方程①②都有实数根的充要条件是{  m|m≥-且 m≠0；}∩{  m|m≥-}
={m|-≤m≤1，且 m≠0}；
反之，当-≤m≤1时，方程①②都有实根；
故方程①②都有实根的充要条件是-≤m≤1．