Question

定长为3的线段AB的两端点在抛物线y²=x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．

Answer

先用A、B点的坐标表示点M，则点M到y轴的距离即为其横坐标建立距离模型，再利用基本不等式法求得最值，由取得等号的条件求得M点的坐标．
【解析】
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB长度为3，
那么x1=y12，x2=y22，（1）
32=（x2-x1）2+（y2-y1）2=（y22-y12）2+（y2-y1）2=（y2-y1）2[（y2+y1）2+1]（2）
线段AB的中点M（x，y）到y轴的距离为
由（2）得x≥，并且当（y1-y2）2=（y1+y2）2+1=3（3）
时x取得最小值x=
下证x能达到最小值，根据题意不妨设y1＞y2，由（3）得
由此解得y1，y2，由（1）解得x1，x2，所以x可取得最小值．
相应的M点纵坐标
∴M点坐标为