Question

设数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足：b_n=a_n-a_n+2，c_n=a_n+2a_n+1+3a_n+2（n=1，2，3，…），
证明：{a_n}为等差数列的充分必要条件是{c_n}为等差数列且b_n≤b_n+1（n=1，2，3，…）

Answer

本小题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．理解公差d的涵义，能把文字叙述转化为符号关系式．利用递推关系是解决数列的重要方法，要求考生熟练掌握等差数列的定义、通项公式及其由来．
证明：（必要性）
设是{an}公差为d1的等差数列，则
bn+1-bn=（an+1-an+3）-（an-an+2）=（an+1-an）-（an+3-an+2）=d1-d1=0
所以bn≤bn+1（n=1，2，3，）成立．
又cn+1-cn=（an+1-an）+2（an+2-an+1）+3（an+3-an+2）=d1+2d1+3d1=6d1（常数）（n=1，2，3，）
所以数列{cn}为等差数列．
（充分性）
设数列{cn}是公差为d2的等差数列，且bn≤bn+1（n=1，2，3，）
∵cn=an+2an+1+3an+2①
∴cn+2=an+2+2an+3+3an+4②
①-②得cn-cn+2=（an-an+2）+2（an+1-an+3）+3（an+2-an+4）=bn+2bn+1+3bn+2
∵cn-cn+2=（cn-cn+1）+（cn+1-cn+2）=-2d2
∴bn+2bn+1+3bn+2=-2d2③
从而有bn+1+2bn+2+3bn+3=-2d2④
④-③得（bn+1-bn）+2（bn+2-bn+1）+3（bn+3-bn+2）=0⑤
∵bn+1-bn≥0，bn+2-bn+1≥0，bn+3-bn+2≥0，
∴由⑤得bn+1-bn=0（n=1，2，3，），
由此不妨设bn=d3（n=1，2，3，）
则an-an+2=d3（常数）．
由此cn=an+2an+1+3an+2=cn=4an+2an+1-3d3
从而cn+1=4an+1+2an+2-5d3，
两式相减得cn+1-cn=2（an+1-an）-2d3
因此（常数）（n=1，2，3，）
所以数列{an}公差等差数列．
综上所述：：{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn+1（n=1，2，3，…）