Question

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），左顶点为．
（1）求双曲线C的方程
（2）若直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A（0，-1），求实数m的取值范围．

Answer

（1）设双曲线的标准方程，依题意可知a和c，进而根据a2+b2=c2求得b，则双曲线方程可得．
（2）把直线方程与双曲线方程联立，消去y，利用判别式大于0求得m和k的不等式关系，设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为B（x，y）．根据韦达定理表示出x和y，根据AB⊥MN，可知AB的斜率为-，进而求得k和m的关系，最后综合可求得m的范围．
【解析】
（I）设双曲线方程为
由已知得
故双曲线C的方程为．
（II）联立
整理得（1-3k2）x2-6kmx-3m2-3=0．
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
∴
可得m2＞3k2-1．①
设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为B（x，y）．

整理得3k2=4m+1．②
将②代入①，得m2-4m＞0，∴m＜0或m＞4．
又3k2=4m+1＞0（k≠0），即m＞-．
∴m的取值范围是（-，0）∪（4，+∞）．