Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，S_n满足关系式，（n≥2，n为正整数）．
（1）令b_n=2ⁿa_n，求证数列{b_n}是等差数列，
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）对于数列{u_n}，若存在常数M＞0，对任意的n∈N^*，恒有|u_n+1-u_n|+|u_n-u_n-1|+…|u₂-u₁|≤M成立，称数列{u_n}为“差绝对和有界数列”，证明：数列{a_n}为“差绝对和有界数列”；

Answer

（1）整理题设递推式得进而表示出Sn+1，进而根据an+1=Sn+1-Sn，求得an+1和an的递推式，整理得2n+1an+1=2n•an+1，进而根据bn=2nan，求得bn+1-bn=1，进而根据等差数列的定义判断出数列为等差数列．
（2）根据（1）中数列{bn}的首项和公差，求得数列的通项公式，进而根据bn=2nan求得an．
（3）把an代入|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|中，利用利用错位想减法求得sn-sn＜，进而判断出以恒成立，根据“差绝对和有界数列”的定义，证明出数列{an}为“差绝对和有界数列”．
【解析】
（1）当n≥2时，，

所以，
即，
所以2n+1an+1=2n•an+1
即bn+1-bn=1，（n≥2），又b2-b1=22•2×a1=1
所以，bn+1-bn=1，n∈N+即{bn}为等差数列
（2）
（3）由于|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|=++…+
sn-sn＜
所以恒成立，
即[an]为“差绝对和有界数列”．