Question

设数列{a_n}前和n为S_n，且（3-m）S_n+2ma_n=m+3（n∈N^*）．其中m为常数，m≠-3，且m≠0．
（1）求证：{a_n}是等比数列；
（2）若数列{a_n}的公比q=f（m）=且数列{b_n}中，，求b_n的表达式．

Answer

（1）利用式子（3-m）Sn+2man=m+3求出（3-m）Sn+1+2man+1=m+3，相减得到为常苏，即可得证．
（2）先求出b1=1，再根据题意得到数列{bn}的表达式，构造新的数列，求出新苏烈的表达式，进而求出数列{bn}的表达式．
【解析】
（1）证明：有（3-m）Sn+2man=m+3，得（3-m）Sn+1+2man+1=m+3，（2分）
两式相减，得（3+m）an+1=2man（m≠3）（4分）
∴为常数，∴{an}是等比数列（5分）

（2）由（3-m）a1+2ma1=m+3，得（m+3）a1=m+3，∵m≠-3∴a1=1，b1=1，（6分）
，且n≥2时，，（7分）
，（9分）
∴ 是1为首项为公差的等差数列，（10分）
∴（11分）
∴（12分）