Question

已知△OFQ的面积为，且．
（1）当时，求向量与的夹角θ的取值范围；
（2）设，若以中心O为坐标原点，焦点F在x非负半轴上的双曲线经过点Q，当取得最小值时，求此双曲线的方程．

Answer

（1）利用两个向量的数量积的定义和三角形面积公式，推出tanθ的解析式，再根据m的范围，求得tanθ
的范围，进而求得θ的取值范围．
（2）设出双曲线的标准方程和点Q的坐标，有三角形的面积公式求出点Q的横坐标和纵坐标（用半焦距表示），用基本不等式求出||最小时点Q的坐标，从而得到双曲线方程中的待定系数．
【解析】
（1）由已知得 ，∴tanθ=，
∵＜m＜4，∴1＜tanθ＜4，∴＜θ＜arctan4．
（2）设双曲线方程为 -=1，（a＞0，b＞0），不妨设点Q的坐标为（m，n），
n＞0，则=（m-c，n），∵△OFQ的面积为 ||•n=2，∴n=．
又由•=（c，0）•（m-c，n）=c（m-c）=（-1）c2，∴m=，
||==≥，当且仅当c=4时，||有最小值，
此时，点Q的坐标为（，），由此可得，解得 ，
故所求的方程为：=1．