Question

设关于x的函数f（x）=1-2a-2acosx-2sin²x的最小值为f（a）．
（1）写出f（a）的表达式；
（2）试确定能使的a值，并求出此时函数y的最大值．

Answer

（1）先根据同角三角函数的基本关系进行化简，然后转化为关于cosx的一元二次函数，再根据一元二次函数的性质与cosx的范围确定函数f（x）的最小值f（a）．
（2）根据（1）中的f（a）的解析式确定f（a）=的a的范围，进而令--2a-1=，求出a的值，最后将a的值代入到函数f（x）中即可根据cosx的范围和一元二次函数的性质可求出其最大值．
【解析】
（1）f（x）=1-2a-2acosx-2sin2x=1-2a-2acosx-2（1-cos2x）=2（cosx-）2--2a-1．
当a≥2时，则cosx=1时，f（x）取最小值，即f（a）=1-4a；
当-2＜a＜2时，则cosx=时，f（x）取最小值，即f（a）=--2a-1；
当a≤-2时，则cosx=-1时，f（x）取最小值，即f（a）=1；
综合上述，有f（a）=
（2）若f（a）=，a只能在[-2，2]内．
解方程--2a-1=，得a=-1，和a=-3．因-1∈[-2，2]，故a=-1为所求，此时
f（x）=2（cosx+）2+；当cosx=1时，f（x）有最大值5．