Question

设数列a₁，a₂，…，a_n，…的前n项的和S_n与a_n的关系是S_n=ka_n+1，（其中k是与n无关的常数，且k≠1）．
（1）试写出用n，k表示的a_n的表达式；
（2）若=1，求k的取值范围．

Answer

（1）由前n项的和Sn与an的关系 an+1=Sn+1-Sn，得到数列的递推公式，注意分析k是否为零，再求数列的通项公式．
（2）利用极限的值和第（1）的结果，代入sn整理出关于k的式子，再求k的值．
【解析】
（1）∵Sn=kan+1，
∴an+1=Sn+1-Sn=（kan+1+1）-（kan+1），
∴an+1=kan+1-kan，即 （k-1）an+1=kan，
∵
若k≠0，则由题设知a1≠0，由（1）式易知an≠0，n≥1，
∴故该数列是公比为的等比数列，
其首项为
∴
当k=0时，由（1）式知an=0，上式当n≥1时对k=0也成立．
（2）若，即，
，
∴
∴k的范围：k＜