Question

曲线C上任意一点到E（-4，0），F（4，0）的距离的和为12，C与x轴的负半轴、正半轴依次交于A、B两点，点P在C上，且位于x轴上方，
（1）求曲线C的方程；
（2）求点P的坐标；
（3）求曲线C的中心为圆心，AB为直径作圆O，过点P的直线l截圆O的弦MN长为，求直线l的方程．

Answer

（1）设G是曲线C上任意一点，依题意，|GE|+|GF|=12．a=6，c=4，，由此可知所求的椭圆方程．
（2）由已知A（-6，0），F（4，0），设点P的坐标为（x，y），则由已知得则，由此可推导出点P的坐标为；
（3）圆O的圆心为（0，0），半径为6，其方程为x2+y2=36，直线l的方程为，圆心到l的距离，所以，由此可推导出所求的直线l的方程．
【解析】
（1）设G是曲线C上任意一点，依题意，|GE|+|GF|=12．
所以曲线C是以E、F为焦点的椭圆，且椭圆的长半袖a=6，半焦距c=4，
所以短半轴，
所以所求的椭圆方程为；
（2）由已知A（-6，0），F（4，0），设点P的坐标为（x，y）
则
由已知得
则，
由于y＞0，所以只能取，
所以点P的坐标为；
（3）圆O的圆心为（0，0），半径为6，其方程为x2+y2=36，
若过P的直线l与x轴垂直，则直线l的方程为，
这时，圆心到l的距离，
所以，
符合题意；
若过P的直线l不与x轴垂直，设其斜率为k，
则直线l的方程为，
即
这时，圆心到l的距离d=，
所以，
化简得，
所以直线l的方程为，
综上，所求的直线l的方程为