Question

某电视台综艺频道主办一种有奖过关游戏，该游戏设有两关，只有过了第一关，才能玩第二关，每关最多玩两次，连续两次失败者被淘汰出局．过关者可获奖金，只过第一关获奖金900元，两关全过获奖金3600元．某同学有幸参与了上述游戏，且该同学每一次过关的概率均为，各次过关与否互不影响．在游戏过程中，该同学不放弃所有机会．
（1）求该同学仅获得900元奖金的概率；
（2）若该同学已顺利通过第一关，求他获得3600元奖金的概率；
（3）求该同学获得奖金ξ的数学期望（精确到元）．

Answer

（1）由题意知该同学每一次过关的概率均为，各次过关与否互不影响，而该同学仅获得900元奖金表示该同学过了第一关，第二关参与活动，但是都失败，根据相互独立事件同时发生的概率，得到结果．
（2）该同学已顺利通过第一关，当他通过第二关即可获得3600元奖金，过第二关表示该同学在第二关时，至少有一次通过，它的对立事件是两次都不通过，根据对立事件的概率和相互独立事件同时发生的概率公式，得到结果．
（3）由题意知该同学获得奖金ξ可取的值为0，900，3600，根据上两问做出的概率，写出分布列，作出期望．
【解析】
（1）∵该同学每一次过关的概率均为，各次过关与否互不影响，
该同学仅获得900元奖金表示该同学过了第一关，第二关参与活动，但是都失败，
设该同学仅获得900元奖金的事件为A，
则
（2）∵该同学已顺利通过第一关，当他通过第二关即可获得3600元奖金，
过第二关表示该同学在第二关时，至少有一次通过，它的对立事件是两次都不通过，
∴他获得3600元奖金的概率
（3）由题意知该同学获得奖金ξ可取的值为0，900，3600
；
；
．
，
即该同学获得奖金ξ的数学期望为2933元