Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-n（n∈N⁺）．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）若数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，记{b_n}的前n项和为T_n，当n≥2时，试比较2S_n与T_n+n的大小．

Answer

（1）由Sn=2an-n得，该数列的递推公式，再进行变形构造新的特殊数列，求通项公式an．
（2）由题意列出数列的递推公式，得到该数列{bn}为等差数列，再求出Tn，比较大小时用二项式定理，并用分析法进行证明．
【解析】
∵Sn=2an-n    ①
当n≥2时，Sn-1=2an-1-（n-1） ②
②-①得an=2an-1+1，∴an+1=2（an-1+1）
又∵a1=2a1-1，∴a1=1
∴数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴an+1=2n∴an=2n-1
由于a1=1也适合上式，∴an=2n-1（n∈N+）
（2）∵点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，
∴bn+1-bn=2，b1=1，则 bn=2n-1，
∴Tn==n2，
∴Tn+n=n2+n
∵Sn=2an-n，an=2n-1
∴2Sn=2n+2-2n-4，
当n=2时，2Sn=8，Tn+n=6，2Sn＞Tn+n，
下面用分析法证当n＞2时，2Sn＞Tn+n
要证明  2n+2-2n-4＞n2+n，
即证    2n+2＞n2+3n+4，
即证   （1+1）n+2＞n2+3n+4，
∵（1+1）n+2=cn+2+cn+21+cn+22+…+cn+2n+cn+2n+1+cn+2n+2
∵n＞2，cnk=cnn-k
∴（1+1）n+2≥2（Cn+2+Cn+21+Cn+22）=n2+5n+8，当n=3时取等号，
综上可得：当n≥2时，2Sn＞Tn+n