Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC=30°，平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角P-AC-B的大小；
（Ⅲ）求异面直线AB和PC所成角的大小．

Answer

（1）要证明PA⊥平面PBC，即证明PA与平面PBC中两条相交的直线垂直，由已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，且BC⊥AB，根据面面垂直的性质定理，我们易得BC⊥平面PAB．再结合PA⊥PB，我们易得结论．
（2）要求二面角P-AC-B的大小，我们要先求二面角P-AC-B的平面角，作PO⊥AB于点O，OM⊥AC于点M，连接PM．由平面PAB⊥平面ABC，则PO⊥平面ABC，根据三垂线定理得PM⊥AC，则∠PMO是二面角P-AC-B的平面角．解三角形PMO即可得到结果．
（3）要异面直线AB和PC所成角的大小，在底面ABC内分别过A、C作BC、AB的平行线，交于点D，连接OC，OD，PD．则∠PCD是异面直线AB和PC所成的角或其补角．解三角形PCD即可得到答案．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，
且BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB．
∵PA⊂平面PAB，∴PA⊥BC．
又∵PA⊥PB，∴PA⊥平面PBC．
（Ⅱ）作PO⊥AB于点O，OM⊥AC于点M，连接PM．
∵平面PAB⊥平面ABC，∴PO⊥平面ABC，
根据三垂线定理得PM⊥AC，∴∠PMO是二面角P-AC-B的平面角．
设，∵PA⊥PB，∴．
∵OM⊥AM，∠MAO=30°，∴，∴，
即二面角P-AC-B的大小是arctan2．

（Ⅲ）在底面ABC内分别过A、C作BC、AB的平行线，交于点D，
连接OC，OD，PD．
则∠PCD是异面直线AB和PC所成的角或其补角．
∵AB⊥BC，∠BAC=30°，
∴BC=AB•tan30°=2，，
∴．
易知底面ABCD为矩形，从而OC=OD，PC=PD．
在△PCD中，，
∴异面直线AB和PC所成角的大小为．