Question

数列{a_n}中，a₁=1，（c＞1为常数，n=1，2，3，…），且
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）①证明：a_n＜a_n+1；
②猜测数列{a_n}是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）比较与的大小，并加以证明．

Answer

（1）把n=2和n=3分别代入，可得到a2和a3的表达式代入即可求得c．
（2）①要证an＜an+1需证an+1-an＞0，把代入整理得
当且仅当an=2时，an+1=an．根据a1=1进而可证明．
②数列{an}有极限且极限值等于2．
（3）对进行整理可得到关系式，然后代入到中找到的关系式，最后与作差比较大小．
（Ⅰ）【解析】
依题意，
由，得，
解得c=2，或c=1（舍去）．
（Ⅱ）①证明：因为，
当且仅当an=2时，an+1=an．
因为a1=1，所以an+1-an＞0，即an＜an+1（n=1，2，3，）．
②数列{an}有极限，且．
（Ⅲ）【解析】
由，可得an（an+1-an）=（an-2）（an+1-2），
从而．
因为a1=1，所以
所以
因为a1=1，由（Ⅱ）①得an≥1（n∈N*）．（1）
下面证明：对于任意n∈N*，有an＜2成立．
当n=1时，由a1=1，显然结论成立．
假设结论对n=k（k≥1）时成立，即ak＜2．
因为，且函数在x≥1时单调递增，
所以．
即当n=k+1时，结论也成立．于是，当n∈N*时，有an＜2成立．（2）
根据（1）、（2）得1≤an＜2．
由a1=1及，经计算可得
所以，当n=1时，；当n=2时，；
当n≥3时，由，得．