Question

如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，已知AA′=4，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥AB′；
（Ⅱ）求二面角A′-AB′-C的大小；
（Ⅲ）求直线B′D与平面AB′C所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）欲证CD⊥AB′，可先证CD⊥平面ABB′A′，欲证CD⊥平面ABB′A′，可根据平面ABC与平面ABB′A′垂直的性质定理可得；
（Ⅱ）过D作DE⊥AB′，垂足为E，连接CE．由三垂线定理可知CE⊥AB′，根据二面角的平面角的定义可知∠CED是二面角B-AB′-C的平面角，在三角形CED中求出此角，而根据二面角A′-AB′-C与二面角B-AB'-C的大小互补即可求出二面角A′-AB′-C的大小；
（Ⅲ）过D作DF⊥CE，垂足为F，连接B′F，根据线面所成角的定义可知∠DB′F为直线B'D与平面AB'C所成的角，在直角三角形DB′F中求出此角的正弦值即可．
【解析】
（Ⅰ）证明：因为AC=BC，D是AB的中点，所以CD⊥AB．
由已知，三棱柱ABC-A′B′C′是直三棱柱，
所以平面ABC⊥平面ABB′A′．
所以CD⊥平面ABB′A′．
又因为AB′⊂平面ABB′A′，
所以CD⊥AB′．（5分）
（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）知CD⊥平面ABB′A′．
过D作DE⊥AB′，垂足为E，连接CE．
由三垂线定理可知CE⊥AB′，
所以∠CED是二面角B-AB′-C的平面角．
由已知可求得，，
所以．
所以二面角B-AB′-C的大小为．
由于二面角A′-AB′-C与二面角B-AB'-C的大小互补，
所以二面角A′-AB′-C的大小为．（10分）
（Ⅲ）过D作DF⊥CE，垂足为F，连接B′F．
由（Ⅱ）可证得AB′⊥平面CDE，所以AB′⊥DF，可证得DF⊥平面AB'C．
所以，∠DB′F为直线B'D与平面AB'C所成的角．
在直角三角形CDE中，可知，所以．
在直角三角形BB′D中，可知B′D=．
在直角三角形DB′F中，sin∠DB′F=．
所以直线B'D与平面AB'C所成角的正弦值为．（14分）