Question

设直线l：y=x+1与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F．
（Ⅰ）证明：a²+b²＞1；
（Ⅱ）若F是椭圆的一个焦点，且，求椭圆的方程．

Answer

（I）将直线方程代入椭圆方程消去x，利用判别式大于0求得a和b不等式关系，原式得证．
（II）设出A，B的坐标，利用韦达定理表示出y1+y2和y1y2，根据求得y1和y2的关系式，进而联立y1+y2和y1y2的表达式求得a和b的关系式，直线L的方程求得F的坐标，进而求得椭圆方程中的c，最后联立求得a和b，则椭圆的方程可得．
证明：（Ⅰ）将y=x+1代入，消去x，得（a2+b2）y2-2b2y+b2（1-a2）=0①
由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得△=4b4-4b2（a2+b2）（1-a2）=4a2b2（a2+b2-1）＞0
所以a2+b2＞1．
（Ⅱ）【解析】
设A（x1，y1），B（x2，y2）
由①，得
因为，得y1=-2y2
所以，
消去y2，得
化简，得（a2+b2）（a2-1）=8b2
若F是椭圆的一个焦点，则c=1，b2=a2-1，
代入上式，解得，
所以，椭圆的方程为：．