Question

设数列{a_n}的首项a₁=a（a∈R），且n=1，2，3，…．
（I）若0＜a＜1，求a₂，a₃，a₄，a₅；
（II）若0＜a_n＜4，证明：0＜a_n+1＜4；
（III）若0＜a≤2，求所有的正整数k，使得对于任意n∈N^*，均有a_n+k=a_n成立．

Answer

（I）由a1=a且0＜a＜1代入得到a2；a2∈（3，4），代入（2）得到a3；a3∈（0，1），代入（1）得a4；a4∈（3，4），代入（2）得到a4；a5∈（0，1），代入（1）所以求得a5；
（II）分两种情况①当0＜an≤3时和②当3＜an＜4得到0＜an+1＜4得证；
（III）分三种情况若0＜a＜1；1≤a＜2；若a=2，由特殊值得到k的特值，写出k的一般的取值即可．
【解析】
（Ⅰ）因为a1=a∈（0，1）得a2∈（3，4），所以a2=-a1+4=-a+4；
a3∈（0，1）所以a3=a2-3=-a+1；
a4∈（3，4）所以a4=-a3+4=a+3，
a5∈（0，1）所以a5=a4-3=a
（Ⅱ）证明：①当0＜an≤3时，an+1=-an+4，所以1≤an+1＜4．
②当3＜an＜4，an+1=an-3，所以0＜an+1＜1．
综上，0＜an＜4时，0＜an+1＜4
（Ⅲ）【解析】
①若0＜a＜1，由（I）知a5=a1，所以k=4
因此，当k=4m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，an+k=an成立
②若1≤a＜2，则a2=-a+4，且a2∈（2，3]a3=-a2+4=-（-a+4）+4=a=a1，所以k=2
因此，当k=2m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，an+k=an成立
③若a=2，则a2=a3=a4=2，所以k=1，
因此k=m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，an+k=an成立
综上，若0＜a＜1，则k=4m；1≤a＜2，则k=2m；若a=2，则k=m．m∈N*