Question

锐角△ABC的三高线为AD、BE、CF，垂心为H，求证：HD平分∠EDF．

Answer

根据△ABC的三高线为AD、BE、CF得到AD⊥BC，BE⊥CA，从而得到四边形一组对角互补，得到四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等，得到两个角∠ADE=∠ABE，同理∠FBE=∠FCE，∠FCA=∠FDA，等量代换得到∠ADE=∠FDA，结论得证．
证明：由于AD⊥BC，BE⊥CA，
∴点A，B，D，E四点共圆，
∴∠ADE=∠ABE，
又∵点F，B，C，E共圆，
∴∠FBE=∠FCE，
又因点C，A，F，D共圆，
∴∠FCA=∠FDA
∴可得∠ADE=∠FDA，即AD平分∠EDF．