Question

某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如右表所示：已知分3期付款的频率为0.2，4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润．
（1）求上表中的a，b值；
（2）若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概率P（A）；
（3）求η的分布列及数学期望Eη．

Answer

（1）根据分3期付款的频率为0.2，得到a除以100值为0.2，求出a的值，根据总体数是100，求出b的值．
（2）记分期付款的期数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3，4，5，结合变量对应的事件写出变量的概率，根据独立重复试验的概率公式得到购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款的概率．
（3）η表示经销一辆汽车的利润，η的可能取值为：1，1.5，2，结合变量对应的事件，根据η和ξ之间的关系，写出变量的概率，得到分布列．
【解析】
（1）由得a=20
∵40+20+a+10+b=100∴b=10
（2）记分期付款的期数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3，4，5，
依题意得：，
，
P（ξ=3）=0.2，
，

则“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率
P（A）=0.83+C310.2×（1-0.2）2=0.896
（3）∵η的可能取值为：1，1.5，2（单位万元）
P（η=1）=P（ξ=1）=0.4
P（η=1.5）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.4
P（η=2）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.1+0.1=0.2
∴η的分布列为：
∴η的数学期望Eη=1×0.4+1.5×0.4+2×0.2=1.4（万元）