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以知椭圆的两个焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0)(c>0),过点的直线与...

以知椭圆manfen5.com 满分网的两个焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0)(c>0),过点manfen5.com 满分网的直线与椭圆相交与A,B两点,且F1A∥F2B,|F1A|=2|F2B|.
(1)求椭圆的离心率;
(2)求直线AB的斜率;
(3)设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B上有一点H(m,n)(m≠0)在△AF1C的外接圆上,求manfen5.com 满分网的值.
(1)由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|,得,从而,由此可以求出椭圆的离心率. (2)由题意知椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2,设直线AB的方程为,设A(x1,y1),B(x2,y2), 则它们的坐标满足方程组,整理,得(2+3k2)x2-18k2cx+27k2c2-6c2=0.再由根的判别式和根与系数的关系求解. (III)解法一:当时,得,.线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是△AF1C外接圆的圆心,因此外接圆的方程为.由此可以推导出的值. 解法二:由椭圆的对称性可知B,F2,C三点共线,由已知条件能够导出四边形AF1CH为等腰梯形.由此入手可以推导出的值. (1)【解析】 由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|, 得,从而 整理,得a2=3c2,故离心率 (2)【解析】 由(I)得b2=a2-c2=2c2, 所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2 设直线AB的方程为,即y=k(x-3c). 由已知设A(x1,y1),B(x2,y2), 则它们的坐标满足方程组 消去y整理,得(2+3k2)x2-18k2cx+27k2c2-6c2=0. 依题意, 而① ② 由题设知,点B为线段AE的中点,所以x1+3c=2x2③ 联立①③解得, 将x1,x2代入②中,解得. (III)解法一:由(II)可知 当时,得,由已知得. 线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴 的交点是△AF1C外接圆的圆心, 因此外接圆的方程为. 直线F2B的方程为, 于是点H(m,n)的坐标满足方程组, 由m≠0,解得故 当时,同理可得. 解法二:由(II)可知 当时,得,由已知得 由椭圆的对称性可知B,F2,C三点共线, 因为点H(m,n)在△AF1C的外接圆上, 且F1A∥F2B,所以四边形AF1CH为等腰梯形. 由直线F2B的方程为, 知点H的坐标为. 因为|AH|=|CF1|,所以,解得m=c(舍),或. 则,所以.当时同理可得
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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