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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,,M为侧棱CC1上一点,AM⊥BA1. ...

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,manfen5.com 满分网,M为侧棱CC1上一点,AM⊥BA1
(Ⅰ)求证:AM⊥平面A1BC;
(Ⅱ)求二面角B-AM-C的大小.

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(Ⅰ)欲证AM⊥平面A1BC,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AM与平面A1BC内两相交直线垂直,而BC⊥AM,AM⊥BA1,BC∩BA1=B,满足定理条件; (Ⅱ)设AM与A1C的交点为O,连接BO,根据二面角平面角的定义可知∠BOC为二面角B-AM-C的平面角,在Rt△BCO中求解此角即可. 证明:(Ⅰ)在直三棱柱ABC-A1B1C1中, 易知面ACC1A1⊥面ABC,∵∠ACB=90°, ∴BC⊥面ACC1A1. ∵AM⊆面ACC1A1,∴BC⊥AM.∵AM⊥BA1, 且BC∩BA1=B,∴AM⊥平面A1BC. 【解析】 (Ⅱ)设AM与A1C的交点为O,连接BO, 由(Ⅰ)可知AM⊥OB,且AM⊥OC, 所以∠BOC为二面角B-AM-C的平面角. 在Rt△ACM和Rt△A1AC中,∠OAC+∠ACO=90°, ∴∠AA1C=∠MAC.∴Rt△ACM∽Rt△A1AC.∴AC2=MC•AA1. ∴. ∴在Rt△ACM中,.∵, ∴CO=1. ∴在Rt△BCO中,. ∴∠BOC=45°,故所求二面角的大小为45°.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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