Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₅，a₁₄恰好是等比数列{b_n}的前3项．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}对于任意自然数n均有，求数列{c_n}的前n项和．

Answer

本题考查等差和等比数列的概念、通项公式的求法、构造数列的应用、“裂项法”求前n项和等综合性知识；
（Ⅰ）根据数列{an}与{bn}部分项的联系，可以建立关于公差d的方程，由此得到d，然后在求出等比数列{bn}的公比q的基础上不难得到数列{an}与{bn}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）所得数列{an}与{bn}的通项公式，根据可得数列{cn}的通项公式，然后利用裂项求和方法即可得到数列{cn}的前n项和．
【解析】
（Ⅰ）由题意得：a52=a2•a14，
即：（1+4d）2=（1+d）（1+13d）
整理化简得：3d2-6d=0，∵公差d＞0∴d=2
∴an=a1+（n-1）d=2n-1
由
∴bn=b1qn-1=3n
故数列{an}与{bn}的通项公式分别为：
an=2n-1，bn=3n
（Ⅱ）由=（2n+2）n=2n（n+1）
∴
由；得数列{cn}的前n项和为
；
=