Question

已知圆x²+y²=1与x轴的两个交点为A、B，若圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．[-1，0）

Answer

先设P（x，y） A（-1，0），B（1，0）分别表示出，，，根据把，代入|PA|•|PB|=PO2整理可得x2-y2=可知点P的轨迹为双曲线，通过与圆的方程联立即可求得它们的交点，得x2=，但P（x，y）在圆内，故对P，只能x2＜，又根据x2-y2=可知x2＞=，进而可得的x2范围，设z=•=x2-1+y2，把x2-y2=代入z，进而可得答案．
【解析】
设P（x，y） A（-1，0），B（1，0）
则=（-1-x，-y）
=（1-x，-y）
=（-x，-y）
设z=PA•PB=x2-1+y2．（1）
又∵|PA|•|PB|=PO2
∴[（1+x）2+y2]•[（1-x）2+y2]=（x2+y2）2
整理得：x2-y2=（2）
这是P点满足的条件 （其图形为一双曲线）
求它与圆的交点：
即，解方程组：
x2+y2=1．（3）
x2-y2=（4）
得x2=（5）
（但P（x，y）在圆内，故对P，只能x2＜
又由（2）知x2＞=，
即≤x2＜（6）
由（2）还得：y2=x2-
代入（1），得
z=2x2-（7）
由（（6），（7）知，z的取值范围为
为：[-，0）
故选B