Question

已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为，焦点坐标分别为F₁（-2，0），F₂（2，0）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知A（-3，0），B（3，0），P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N，求的值；
（3）在（2）的条件下，若G（s，0），H（k，0），且，（s＜k），分别以OG、OH为边作两正方形，求此两正方形的面积和的最小值，并求出取得最小值时的G、H点坐标．

Answer

（1）由题意设出椭圆方程，由条件和a2=b2+c2求出a2和b2的值；
（2）设出点P的坐标和点A和B坐标，求出直线PA和PB的方程，令x=0求出点M和N坐标，即求出的坐标，由向量的数量积运算求出，根据点P在椭圆上求出值；
（3）由（2）求出点M和N坐标以及题意求出，根据向量数量积运算和求出关于sk的积，再由基本不等式求出面积的最小值，注意等号成立的条件，进而求出G、H点坐标．
【解析】
（1）由题意设椭圆C的标准方程是，
由题意知，又因a2=b2+c2，
解得a2=9，b2=5，
∴椭圆C的标准方程为．

（2）设P（x，y），∵A（-3，0），B（3，0），
∴直线，
令x=0，分别代入上面的直线方程得：M（0，），N（0，），
∴，，
∴=•=5．

（3）∵，
又∵，∴，
∴两正方形的面积和为
当且仅当s2=k2=5时，等式成立，
∴两正方形的面积和的最小值为10，此时G、H．