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已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都...

已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(Ⅰ)求曲线C的方程
(Ⅱ)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有manfen5.com 满分网<0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)设P(x,y)是曲线C上任意一点,然后根据等量关系列方程整理即可. (Ⅱ)首先由于过点M(m,0)的直线与开口向右的抛物线有两个交点A、B,则设该直线的方程为x=ty+m(包括无斜率的直线);然后与抛物线方程联立方程组,进而通过消元转化为一元二次方程;再根据韦达定理及向量的数量积公式,实现•<0的等价转化;最后通过m、t的不等式求出m的取值范围. 【解析】 (Ⅰ)设P(x,y)是曲线C上任意一点,那么点P(x,y)满足: 化简得y2=4x(x>0). (Ⅱ)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2). 设l的方程为x=ty+m,由得y2-4ty-4m=0,△=16(t2+m)>0, 于是① 又.⇔(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0② 又,于是不等式②等价于③ 由①式,不等式③等价于m2-6m+1<4t2④ 对任意实数t,4t2的最小值为0,所以不等式④对于一切t成立等价于m2-6m+1<0,解得. 由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有,且m的取值范围.
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考点分析:
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[1.05,1.10)
[1.10,1.15)
[1.15,1.20)
[1.20,1.25)
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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