Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q≠0）．
（1）设b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），证明{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）先整理出所给的递推式，向要求的数列表现形式方向整理，结果发现要求数列的表达式，数列后一项与前一项之比是一个常数，所以数列是等比数列．
（2）由（1）所得的结论，写出数列的通项公式，仿写一系列式子，用叠加的方法得到通项的表示式，在表示式中出现等比数列的求和，一定要注意的是，公比与1的关系．
【解析】
（1）证明：由题设an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2），得
an+1-an=q（an-an-1），
即bn=qbn-1，n≥2．
又b1=a2-a1=1，q≠0，
所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．
（2）由（1）可得数列{bn}的通项公式bn=qn-1，
∵bn=an+1-an，
∴an-an-1=qn-2，
…
a2-a1=1，
把上述各式相加，得到an-a1=qn-2+qn-3+…+q
∴an=