Question

已知椭圆C：（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），且a、b、c成等比数列．
（1）求的值．
（2）若椭圆C的上顶点、右顶点分别为A、B，求证：∠F₁AB=90°．
（3）若P为椭圆C上的任意一点，是否存在过点F₂、P的直线l，使l与y轴的交点R满足？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由b2=ac及b2=a2-c2能够推导出的值．
（2）由题设条件可得，，，由此导出∠F1AB=90°．
（3）由题设，显然直线l垂直于x轴时不合题意，设直线l的方程为y=k（x-c），求出R点坐标利用题设条件进行求解．
【解析】
（1）由题设b2=ac及b2=a2-c2，得．
（2）由题设A（0，b），B（a，0），又F1（-c，0），
得，，
于是，
故∠F1AB=90°．（10分）
（3）由题设，显然直线l垂直于x轴时不合题意，设直线l的方程为y=k（x-c），
得R（0，-kc），又F2（c，0），及，得点P的坐标为（2c，kc），（12分）
因为点P在椭圆上，
所以，
又b2=ac，得，，与k2≥0矛盾，
故不存在满足题意的直线l．