Question

扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x（米），外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）为y（米）．
（1）求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；
（2）要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？
（3）当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值．

Answer

（1）先由横断面积用x表示BC，从建立y关于x的函数关系式，定义域由线段必须大于零和高度不低于米求解；
（2）解y≤10.5分式不等式；
（3）求函数y的最小值，根据函数特点及条件可选用不等式解决．
【解析】
（1），其中，，
∴，得，
由，得2≤x＜6
∴；（6分）
（2）得3≤x≤4∵[3，4]⊂[2，6）
∴腰长x的范围是[3，4]（10分）
（3），
当并且仅当，即时等号成立．
∴外周长的最小值为米，此时腰长为米．（15分）