Question

在△ABC中，已知tan=sin（A+B），给出以下四个论断：
①tanA×cotB=1②1＜sinA+sinB≤
③sin²A+cos²B=1    ④sin²A+sin²B+sin²C=2
其中一定正确的是    （填上所有正确论断的序号）．

Answer

本题考查的知识点两角和与差的正弦函数，及三角函数中的恒等变形，由△ABC中三个内角和为π，结合tan=sin（A+B）我们易判断三个内角A，B，C之间的关系，然后逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．
【解析】
∵A+B+C=180°
∴sin（A+B）=sinC
又∵tan===sin（A+B），
∴cosC=0
即C=90°
∴A+B=90°
故tanA×cotB=tanA2=1不一定成立，故①错误；
1＜sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+）≤，故②正确；
sin2A+cos2B=sin2A+sin2A=1 不一定成立，故③错误；
sin2A+sin2B+sin2C=sin2A+cos2A+sin2C=2，故④正确；
故答案为：②④