Question

在数列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=．
（Ⅰ）证明数列{-1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：a_i（a_i-1）＜3

Answer

（1）对an+1=两边求倒数得-1=（-1），由a1=2得出数列{-1}是首项为-，公比为的等比数列．写出其通项公式化简可得数列{an}的通项公式；
（2）利用ai（ai-1）=＜==-证出即可．
（Ⅰ）【解析】
由a1=2，an+1=得，对n∈N*，an≠0．
从而由an+1=两边取倒数得，=+．
即-1=（-1），
∵a1=2，-1=-．
∴数列{-1}是首项为-，公比为的等比数列．
∴-1=-•=-
∴=1-=．∴an=．
故数列{an}的通项公式是an=．
（Ⅱ）∵an=，
∴ai（ai-1）=（i=1，2，，n），
当i≥2时，
∵ai（ai-1）=＜==-，
∴ai（ai-1）=a1（a1-1）+a2（a2-1）+…+an（an-1）
=++…+
＜+（-）+（-）+…+（-）
=2+1-
=3-＜3．