Question

已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，给出下列命题：
①f（3）=0；
②f（-3）=0；
③直线x=6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；
④函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数．
其中所有正确命题的序号为    ．（把所有正确命题的序号都填上）

Answer

对于条件：“x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立”，欲求f（3），故令x=-3，即有f（3）=f（-3）+f（3），f（-3）=0，
再依据函数y=f（x）是R上的偶函数，有f（-3）=f（3），得f（3）=0；欲证“直线x=6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴”，即证f（6+x）=f（6-x）；由于f（-3）=f（3）=0，得函数y=f（x）在[-9，-6]上不为增函数．
【解析】
对于①②，由条件：“x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立”，令x=-3，
即有f（3）=f（-3）+f（3），再依据函数y=f（x）是R上的偶函数，有f（-3）=f（3），得f（3）=0；
故①②对；
对于③，∵f（x+6）=f（x）+f（3），
又∵f（-x+6）=f（-x）+f（3），且f（-x）=f（x）
∴f（6+x）=f（6-x）；∴直线x=6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，故②对；
对于④，由于f（-3）=f（3）=0，得函数y=f（x）在[-9，-6]上不为增函数；故它是错．
故填①②③．