Question

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），对一切x、y＞0，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x＞0时，f（x）＜0．
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）时，解不等式f（ax+4）＞-1．

Answer

（1）任取两个变量且界定大小，由主条件将f（x2）-f（x1）变形为f（x2-x1+x1）-f（x1）=f（x2-x1）+f（x1）-f（x1）
=f（x2-x1）再利用x＞0时，f（x）＜0得证．
（2）将原不等式转化为f（ax+4）＞f（2+2）=f（4）由（1）知f（x）在（0，+∞）上为减函数，得到0＜ax+4＜4，再按照一元一次不等式求解．
【解析】
（1）任取0＜x1＜x2＜+∞，则x2-x1＞0
∴f（x2-x1）＜0，
∴f（x2）-f（x1）
=f（x2-x1+x1）-f（x1）
=f（x2-x1）+f（x1）-f（x1）
=f（x2-x1）＜0
∴f（x2）＜f（x1）
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．

（2）∵f（2）+f（2）=-1
∴f（ax+4）＞f（2+2）=f（4）
由（1）知f（x）在（0，+∞）上为减函数，∴0＜ax+4＜4
当a＞0时，解得
当a＜0时，解得
当a=0时，无解